Présentation générale
La première partie du cours s’adresse aussi aux étudiants du DEA de finance de l’IGR : on y donne les résultats de base sur les équations différentielles stochastiques (EDS), ainsi que sur les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), des exemples et applications.
La deuxième partie du cours est consacrée à une étude détaillée des EDSR et de leurs applications aux équations aux dérivées partielles.
Première partie (12 heures dont 4 heures de TP) : EDS, EDS rétrogrades
- Résultats généraux.
- Exemples et applications à la finance (modèles de Vasicek, formule de Black et Scholes).
- Discrétisation et simulation des solutions des EDS.
Deuxième partie (14 heures) : approfondissement et applications aux EDP.
- Théorie générale des EDSR.
- EDSR de générateur monotone.
- EDSR dirigées par une EDS : propriété de Markov des solutions.
- Formule de Feynman-Kac pour les EDP semi-linéaires.
- Application à l’homogénéisation.
Prérequis : Mouvement Brownien, formule d’Itô
Références
- I. KARATZAS – S. E. SHREVE, Brownian motion and stochastic calculus, Springer-Verlag 1991.
- P. E. KLOEDEN – E. PLATEN, Numerical solution of stochastic differential equations, Springer-Verlag 1992.
- D. LAMBERTON – B. LAPEYRE, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Ellipses 1997.
Documents disponibles
Notes de cours
- Rappels de calcul stochastique — Fichier pdf
- Résultats de base sur les EDSr — Fichier pdf
- Définitions
- Théorème de Pardoux–Peng
- EDSr linéaires et théorème de comparaison
- EDSr et generateur monotone — Fichier pdf – Compléments
- Estimations à priori
- Existence et unicité
- Compléments sur les EDS — cf. EDSr markoviennes
- Rappels : théorème d’Ito
- Estimations des solutions
- Propriété de Markov
- EDSr markoviennes — Fichier pdf
- Le contexte
- Propriété de Markov
- Formule de Feynman-Kac