Le module
Objectif
L’objectif principal de ce cours est l’étude des suites de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées. Le cours débute, après quelques révisions, par l’étude de la notion d’indépendance avec en particulier la loi du 0-1. Le second chapitre porte sur les différents modes de convergences pour les variables aléatoires (convergence presque sûre, en probabilité, dans Lp, en loi). Le troisième chapitre est consacré à la loi des grands nombres et aux séries de variables aléatoires indépendantes. Enfin, le dernier chapitre porte sur le théorème limite central qui, comme son nom l’indique, tient une place importante dans le domaine des probabilités.
Contrôle des connaissances
La note finale de l’examen est obtenue via la formule max(T,(T+CC)/2) où T désigne la note de l’examen final (2 heures) et CC celle de contrôle continu. Pour le contrôle continu, trois épreuves de 45 minutes sont organisées au cours du semestre ; la note CC est la moyenne des deux meilleures notes. Si vous rendez tous devoirs à la maison qui vous sont donnés à chercher, votre note de contrôle continu sera augmentée d’un point. Et oui le travail paye !
Le polycopié et les notes personnelles de cours sont autorisés à l’examen. Par contre, pour les contrôles continus seule la liste des lois usuelles est autorisée.
Prérequis
Pour faire court, le cours E03 de licence. Le poly est disponible sur la page de Florent Malrieu.
Les enseignants (saison 2006/2007)
- Philippe Briand, cours lundi 16h15, 18h15, amphi M
- Hélène Guérin, TD 2 mardi 10h15-12h15, salle 305
- Florent Malrieu, TD 1 mardi 8h-10h, salle 204
- Aurélie Muller, TD 0 mardi à Ker-Lann
Documents disponibles
Les indispensables
- Poly de cours
- Quelques exercices
- Démonstration élémentaire du théorème de Paul Lévy
- Une autre preuve de la loi forte des grands nombres
Saison 2006–2007
Compléments
- Un cours et des exercices plus faciles
- Encore des exercices
- Les lois usuelles
- Quelques résultats élémentaires d’analyse
- Construction du mouvement brownien
- TCL, condition de Lindenberg, martingales …
Sujets des années antérieures
- 2003/2004 : CC blanc – corrigé — partiel — examen – corrigé — deuxième session
- 2004/2005 : CC 1 – corrigé — CC 2 – corrigé — CC 3 – corrigé — examen – corrigé — deuxième session – corrigé
- 2005/2006 : CC 1 – corrigé — CC 2 – corrigé — CC 3 – corrigé — examen – corrigé — deuxième session – corrigé
- 2006/2007 : CC 1 – corrigé — CC 2 – corrigé — CC 3 – corrigé — examen – corrigé — deuxième session – corrigé
Informations de la saison 2006/2007
Les news
08/12/2006 : Notes CC
Vous pouvez consulter les notes de contrôle continu que je proposerai au jury en cliquant ICI. La note MCC est la moyenne de vos deux meilleurs contrôles ; votre note de contrôle continu CC est obtenue en rajoutant un point à MCC si vous avez rendu les deux devoirs à la maison. Si vous constatez une erreur, merci de me le signaler rapidement.
D’autre part pour l’examen, les documents autorisés sont vos notes personnelles ainsi que le polycopié de cours et le formulaire des lois usuelles. En particulier, les notes de TD ne sont pas autorisées.
29/11/2006 : Contrôle continu 3
N’oubliez pas que le dernier contrôle continu aura lieu le
lundi 4 décembre de 17h30 à 18h15 amphi M.
Il portera sur les dix premiers cours. Le seul document autorisé est la liste des lois usuelles.
06/11/2006 : Contrôle continu 2
N’oubliez pas que le second contrôle continu aura lieu le
lundi 13 novembre de 17h30 à 18h15 amphi M.
Il portera sur les trois premiers chapitres : les révisions, l’indépendance et les convergences (y compris la convergence en loi). Le seul document autorisé est la liste des lois usuelles.
04/10/2006 : Contrôle continu 1
N’oubliez pas que le premier contrôle continu aura lieu le
lundi 9 octobre de 17h30 à 18h15 amphi M.
Il portera sur les deux premiers chapitres : les révisions et l’indépendance. Le seul document autorisé est la liste des lois usuelles ; ne l’oubliez pas !
27/09/2006 : Contrôle continu 1
Le premier contrôle continu aura lieu le
lundi 9 octobre de 17h30 à 18h15 amphi M.
Ce contrôle portera sur les deux premiers chapitres à savoir les révisions et l’indépendance. Le seul document autorisé pour les contrôles continus est la liste des lois usuelles.
15/09/2006 : Un TD supplémentaire !
Vous étiez 55 en TD mardi dernier. C’est beaucoup trop pour travailler dans de bonnes conditions ! Un second groupe de TD est mis en place dès la semaine prochaine. Il aura lieu le mardi de 10h15 à 12h15 en salle 305. Il est assuré par Hélène Guérin.
07/09/2006 : C’est la reprise !
Premier cours lundi 11 septembre à 16h15 amphi M.
La première fiche de TD est disponible ICI ; les exos 1, 3 et 4 sont à chercher. Vous pouvez vous procurer le poly de cours soit en le téléchargeant soit en l’achetant dans le bureau de Véronique Le Goff.
Progression du cours
12/09/2006 : Cours 1
Chap. I : Révisions : espace probabilisé, variables aléatoires.
- Notions élémentaires : espace probabilisé, variable aléatoire, espérance.
- Loi d’une variable aléatoire : définition, lois discrètes, lois absolument continues, …
- Caractérisation de la loi d’une v.a. : théorème de Dynkin, fonction de répartition
18/09/2006 : Cours 2
- Égalité de deux probabilités
- µ1 = µ2 si et seulement si ∫f(x)µ1(dx) = ∫f(x)µ2(dx) pour toute fonction f appartenant à un ensemble H inclus dans les fonctions continues bornées et dont l’adhérence pour la norme sup contient les fonctions indéfiniment dérivables à support compact.
- Fonction caractéristique
- Définition et uniforme continuité
- Formule d’inversion de Fourier pour les fonctions indéfiniment dérivables à support compact
- La fonction caractéristique caractérise la loi d’une va
- Rappels sur les moments : X≥0 est intégrable ssi t→P(X>t) est intégrable sur (0,+∞) ssi ∑ P(X>n) < +∞ ssi ∑ P(X≥n) < +∞
- Rappels sur l’indépendance de n va.
- Borel-Cantelli et convergence presque sûre
- limites supérieure et inférieure
- exemple de résultats presque sûrs via Borel-Cantelli
Exercices à chercher pour le 26 septembre : 4, 5, 15 et 20
- Égalité de deux probabilités
25/09/2006 : Cours 3
Chap. II : Indépendance
- Indépendance d’un nombre fini de tribus
- définition
- lien avec les événements
- tribu engendrée par une variable aléatoire
- lemme de factorisation : Y est σ(X)-mesurable ssi Y=h(X) avec h mesurable
- variables indépendantes (2 à 2 indpt ≠ indpt)
- Résultats
- indépendance et π-systèmes
- application aux fonctions de répartition
- rappels des résultats sur l’indépendance de n variables aléatoires
- Familles indépendantes
- définition
- π-système engendrant σ(Fi, i∈I)
Exercices à chercher pour le 3 octobre : 23, 24, exercice 1 du partiel de 2003
- Indépendance d’un nombre fini de tribus
02/10/2006 : Cours 4
Chap. II : Indépendance
- Familles indépendantes
- Indépendance par paquets ; exemples
- Tribu asymptotique
- Définition
- Exemples
- Loi du tout ou rien
- Borel-Cantelli ; exemples
- Exemples
- Loi multinomiale
Exercices à chercher pour le 10 octobre : exercice 27, exercice 2 du partiel de 2003, exercice 28.
- Familles indépendantes
09/10/2006 : Cours 5
Chap. II : Indépendance
- Exemples
- Somme de variables indépendantes
Chap. III : Convergence d’une suite de v.a.
- Convergences trajectorielles
- Convergence presque sûre
- Définition
- Ensemble de convergence presque sûre
- Exemples
- Si ∑ Var(Xn) < +∞, alors (Xn-E(Xn)) converge p.s. vers 0
- (Xn) iid ; (Xn/n) converge p.s. vers 0 ssi X1 est intégrable
- Convergence presque sûre
Premier contrôle continu ; voici la correction.
Exercices pour le 17 octobre : 29, 30 et 31.
- Exemples
16/10/2006 : Cours 6
Chap. III : Convergence d’une suite de v.a.
- Convergences trajectorielles
- Convergence presque sûre
- Stabilité pour les fonctions continues
- Exemple fil rouge
- Convergence dans Lp p∈[1,+∞[.
- Rappels : inégalité de Hölder et Minkowsky.
- Définition
- Si (Xn) converge vers X dans Lp alors (Xn) converge vers X dans Lq pour 1≤q≤p.
- Réciproque fausse. Exemple d’une suite convergeant dans L1 mais pas presque sûrement ; exemple d’une suite convergeant presque sûrement mais pas dans L1.
- Rappel du théorème de convergence dominée
- Lp est un espace de Banach.
- Convergence en probabilité
- Définition
- Convergence en probabilité ⇔ Convergence en probabilité des marginales
- La convergence dans L1 implique la convergence en proba. Idem pour convergence p.s.
- Réciproques fausses
- Si Xn cv vers X en proba, il existe uns sous-suite conveergeant p.s.
- Stabilité pour les fonctions continues ; exemples
- Convergence presque sûre
Exercices pour le 24 octobre : 34, 35, exo 2 CC2 2004/2005 et exo 32.
- Convergences trajectorielles
23/10/2006 : Cours 7
Chap. III : Convergence d’une suite de v.a.
- Convergences trajectorielles
- Convergence en probabilité
- De la convergence en probabilité à la convergence dans Lp
- Si (Xn) converge en proba vers X et si il exite une constante M t.q. |X_n| ≤ M p.s. alors (Xn) cv vers X dans Lp pour tout p∈[1,+∞[.
- Soit p∈[1,+∞[. Si (Xn) converge en proba vers X et si il exite une v.a. Y∈Lp t.q. |X_n| ≤ Y p.s. alors (Xn) cv vers X dans Lp. (preuve à voir en T.D.)
- Soit q> 1. Si (Xn) converge en proba vers X et si la suite (Xn) est bornée dans Lq alors (Xn) cv vers X dans Lp pour tout p∈[1,q[.
- De la convergence en probabilité à la convergence dans Lp
- Convergence en probabilité
- Convergence étroite et convergence en loi.
- Convergence étroite
- Définition
- Exemple
- Théorème : il suffit de vérifier la convergence sur les fonctions indéfiniment différentiables à support compact.
- Théorème de Paul Lévy
- Convergence en loi
- Définition
- Lien avec les résultats sur la convergence étroite
- Convergence en loi des v.a. entières
- Énoncés des résultats sur les fonctions de répartitions
- Convergence étroite
Exercices pour le 7 (et 14) novembre : 37, 39, 40, 41, 42, exo 2 examen 2003/2004.
- Convergences trajectorielles
06/11/2006 : Cours 8
Chap. III : Convergence d’une suite de v.a.
- Convergence étroite et convergence en loi.
- Convergence en loi
- Stabilité pour les transformations continues
- La convergence en loi des marginales ne suffit pas pour garantir la convergence en loi d’un vecteur
- Convergence en loi et fonctions de répartitions
- La convergence en proba entraîne la convergence en loi
- Réciproque lorsque la limite est constante
- Lemme de Slutsky
- Lemme de Fatou pour la convergence en loi
- Convergence en loi
Chap. IV : Loi des grands nombres et Séries de v.a.
- Loi des grands nombres.
- Énoncé du théorème de Kolmogorov
- Fréquences, Mesure empirique
- Preuve de la loi faible
- Preuve de la loi forte pour des va de carré intégrable
Exercices pour le 7 et 14 novembre : 37, 39, 40, 41, 42, exo 2 examen 2003/2004.
- Convergence étroite et convergence en loi.
15/11/2006 : Cours 9
Chap. IV : Loi des grands nombres et Séries de v.a.
- Loi des grands nombres.
- Convergence de Sn/n vers E[X1] p.s. et dans Lp si X1 a un moment d’ordre p
- Si les Xn sont positives et E[X1]= +∞, lim Sn/n = +∞
- Mesure empirique, Fonction de répartition empirique, énoncé du théorème de Glivenko-Cantelli
- Séries de variables indépendantes.
- Inégalité de Kolmogorov
- Énoncé du théorème sur les séries centrées
- Exemples (Rappel du lemme de Kronecker), comportement de Sn
Second contrôle continu ; voici la correction.
Devoir à la maison pour le 28 novembre.
Exercices pour le 21 novembre : 43, 46, 47, exo 1 CC3 2005/2006.
- Loi des grands nombres.
20/11/2006 : Cours 10
Chap. IV : Loi des grands nombres et Séries de v.a.
- Séries de variables indépendantes.
- Démonstration du théorème sur les séries centrées
Chap. V : Théorème limite central
- Cas des variables réelles.
- Méthode de Monte-Carlo : vitesse de convergence ?
- Énoncé et démonstration du TCL
- Déviation d’ordre 1/√n de (Sn/n -E[X1])
- Comportement de Sn/n dans le cas E[X1]=0, V(X1)=0
- Théorème de de Moivre-Laplace
- Notion d’intervalle de confiance
N’oubliez pas le devoir à la maison pour le 28 novembre.
- Séries de variables indépendantes.
29/11/2006 : Cours 11
Chap. V : Théorème limite central
- Vecteurs gaussiens.
- Rappels sur les variables réelles gaussiennes
- Matrice de covariance et notations matricielles
- Construction et propriétés des mesures gaussiennes sur Rd
- Définition d’un vecteur gaussien
- Stabilité pour les transformations affines
- Lien avec l’indépendance
Voici la correction du second devoir à la maison.
- Vecteurs gaussiens.
06/12/2006 : Cours 12
Chap. V : Théorème limite central
- Vecteurs gaussiens.
- Théorème de Cochrane
- Indépendance de la moyenne et de la variance empiriques d’un échantillon gaussien
- TCL multivarié et application à la loi multinomiale (test du chi-deux)
Dernier contrôle continu et son corrigé.
- Vecteurs gaussiens.